정의

• 경계가 없는 3차원 공간이 있다면, 그 공간 안의 모든 닫힌 고리(루프)가 한 점으로 수축될 수 있을 때, 그 공간은 반드시 3차원 구(Sphere)와 같은 모양(위상 동형)을 가진다는 추측입니다.
• 해결되었다고 합니다. 

설명

이것은 위상수학 분야의 문제로, 공간의 모양을 찢거나 구멍을 뚫지 않고 변형할 때 같은 것으로 간주하는 학문적 질문입니다.

• 단일 연결(Simply Connected): 공간 내의 모든 닫힌 곡선이 한 점으로 수축될 수 있음을 의미합니다. 구(Sphere)는 단일 연결이지만, 도넛(Torus)은 가운데 구멍 때문에 단일 연결이 아닙니다.
• 3차원 다양체: 경계가 없는 3차원 공간을 수학적으로 표현한 것입니다.

앙리 푸앵카레가 1904년에 질문을 제기했으며, 2002년에서 2003년 사이에 러시아의 수학자 그리고리 페렐만(Grigori Perelman)이 리치 흐름(Ricci flow)을 사용하여 이 추측보다 더 일반적인 기하화 추측(Geometrization Conjecture)을 증명함으로써 해결되었습니다. 이로써 3차원 다양체의 분류가 가능해지는 등 위상수학 분야에 엄청난 기여를 했습니다.

용례

"우주의 모양에 대한 위상학적 탐구는 푸앵카레의 추측과 같은 질문에서 출발했습니다. 이 추측의 증명은 3차원 공간의 형태를 분류하는 데 결정적인 도구인 '기하화 추측'의 증명으로 이어졌습니다."

이칭

• 푸앵카레 정리
• 3차원 푸앵카레 추측

출처

• 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré, 1904), 그리고리 페렐만(Grigori Perelman, 2003년 증명 발표), 클레이 수학 연구소 (Millennium Prize Problems)
• https://www.claymath.org/millennium/poincare-conjecture/