정의

특정 종류의 복소 기하학적 공간(복소 대수다양체)에서 얻어지는 위상수학적인 정보인 호지 류(Hodge cycle)가 항상 그 공간의 더 단순하고 구체적인 기하학적 조각들인 대수적 순환들의 조합으로 표현될 수 있다는 추측입니다.

설명

이 문제는 대수 기하학 분야의 핵심 난제로, 공간의 모양을 다루는 위상수학과 대수 방정식의 해를 다루는 대수 기하학 사이의 근본적인 관계를 탐구합니다.

• 복소 대수다양체: 여러 대수 방정식의 해 집합으로 정의되는 고차원 기하학적 공간입니다.
• 호지 류 (위상적 정보): 다양체의 복잡한 위상 구조(구멍 등)를 복소 미분 형식으로 분석하여 얻어지는 추상적인 분류입니다.
• 대수적 순환 (기하학적 정보): 다양체의 부분 다양체(더 낮은 차원의 기하학적 조각)를 말합니다.

호지 추측은 추상적인 위상학적 성질(호지 류)이 결국은 구체적인 기하학적 성질(대수적 순환)에서 기인한다는 것을 주장합니다. 즉, 공간의 복잡한 구조가 실제 그 공간 위에 존재하는 단순한 기하학적 조각들로 설명될 수 있음을 시사하며, 대수 기하학의 깊은 구조를 밝히는 데 결정적인 역할을 할 것으로 기대됩니다.

용례

"수학자들은 호지 추측의 증명이 대수다양체의 기하학적 모양과 위상적 성질 사이의 연관성을 완벽하게 규명하여, 대수 기하학 분야에 혁명적인 통찰력을 제공할 것이라 믿고 있습니다."

이칭

호지 정리 (단, 증명되지 않았기에 추측으로 불림)

출처

• 윌리엄 호지(William Hodge, 1930년대), 클레이 수학 연구소 (Millennium Prize Problems)
• https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/