정의

리만 제타 함수의 복소수 근(영점) 중에서 '자명하지 않은' 모든 근들의 실수 부분이 2분의 1이라는 추측입니다. 이 가설은 소수가 정수들 사이에 어떻게 분포되어 있는지를 설명하는 수론 분야의 핵심 문제입니다.

설명

베른하르트 리만이 1859년 제시한 이 가설은 소수(Prime Number)의 분포 규칙성을 다룹니다.

• 리만 제타 함수: 자연수의 거듭제곱 역수의 무한 합으로 정의되며, 복소수 범위로 확장된 함수입니다.
• 함수의 근(영점): 함수값이 0이 되도록 만드는 복소수입니다. '자명한 근'(−2,−4,−6,⋯)을 제외한 근들이 문제가 됩니다.

리만 가설은 이 비자명 근들이 모두 복소 평면상의 특정 직선(실수부 1/2인 직선) 위에 놓여 있다고 주장합니다. 이 가설이 참으로 증명되면, 소수의 개수를 예측하는 '소수 정리'의 오차 범위가 매우 작아져 소수의 불규칙성 속에 숨겨진 명확한 규칙성을 밝히게 됩니다. 이는 정수론의 모든 분야에 영향을 미치며 현대 수학의 근간을 이루는 문제입니다.

용례

"수학자들은 리만 가설의 증명이 현대 수론의 오랜 숙원인 소수의 정확한 분포를 이해하는 데 결정적인 역할을 할 것이라 기대합니다. 만약 가설이 증명된다면, 소수와 관련된 많은 정리가 한 번에 증명될 것입니다."

이칭

리만 제타 추측, 소수의 규칙성 난제

출처

• 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 1859년 논문, 클레이 수학 연구소 (Millennium Prize Problems)
• https://www.claymath.org/millennium/riemann-hypothesis/