정의

타원곡선 방정식의 유리수 해가 유한개인지 무한개인지를 판별하는 방법을 제시하는 추측입니다. 구체적으로, 타원곡선에서 얻어지는 L-함수가 특정 지점에서 0이 되는 차수(계수)가 그 곡선 위의 유리수 해들의 집합이 이루는 군의 계수(rank)와 같다는 추측입니다.

설명

이 추측은 정수론과 대수 기하학의 핵심 난제 중 하나입니다.

• 타원곡선: y^2 = x^3 + ax + b와 같은 형태의 방정식으로 정의되는 곡선입니다.
• 유리수 해(유리점): 타원곡선 방정식을 만족시키는 x와 y가 모두 유리수인 해입니다.
• 계수(Rank): 유리수 해들의 집합(군)이 얼마나 복잡한 구조를 가지는지를 나타내는 정수입니다. 계수가 0이면 해는 유한하고, 1 이상이면 해는 무한합니다.

BSD 추측은 타원곡선의 대수적 정보(유리수 해의 개수)와 해석적 정보(L-함수의 행동)를 연결함으로써, 방정식의 해가 무한한지 유한한지를 판단하는 강력한 도구를 제공하려 합니다. 이 문제는 리만 가설과도 연관이 깊으며, 정수론의 가장 깊은 미해결 영역 중 하나로 간주됩니다.

용례

"현대 암호학에서 타원곡선 암호를 다룰 때, 곡선의 대수적 구조를 이해하는 것은 필수적입니다. 버치와 스위너턴 다이어의 추측은 이 구조에 대한 궁극적인 해답을 제공하려 합니다."

이칭

• BSD 추측
• 버치-스위너턴다이어 추측

출처

• 브라이언 버치(Bryan Birch)와 피터 스위너턴-다이어(Peter Swinnerton-Dyer) (1960년대 초), 클레이 수학 연구소 (Millennium Prize Problems)
• https://www.claymath.org/millennium/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture/